幂等矩阵的主要性质:
1.幂等矩阵的特征值只可能是0,1;
2.幂等矩阵可对角化;
3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩,即tr(a)=rank(a)倒训向肥林他持庆特;
4.可逆的幂等矩阵为e;
岩5.方阵零矩阵和单始既谁积员显治己位矩阵都是幂等矩阵;
6.幂等矩阵a满足:a(e-a)=(眼e-a)a=0;
7.幂等矩而刘啊裂该脚阵a:ax=x的充要条件是x∈r(a);
8.a的核n(a)等于(e-a)的列空间r(e-a),且n(e-a)=r(a)。考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求,可以给出幂等矩阵的运算:
1)设
a1,a2都是幂等矩阵,则(a1+a2)
为幂等矩阵的充分必要条件为:a1·a2
=a2·a1
=
0,
且有:r(a1+a2)
=r
(a1)
⊕r
(a2);n初承集军唱(a1+a2)
=n
(a1)∩n(a2);
2)设
a1,
a2都是幂等矩阵,则(a1-a2)
为幂等矩阵的充分必要条件为:a1·a2
=a2·a1=a2
且有:r(a1-a2)
=r(a1)∩留情控林升举若有顶n
(a2
);n
(a1
-
a2
)
=n
(a1
)⊕r
(a2
);
3)设
a1,a2都是幂等矩阵,若a1·a2
=a2·a1,板读调赶游管则a1·a2
为幂等矩阵,且有:r
(a1·a2
)
=r
(a1
)
∩r
(a2
);n
(a
1·a2
)
=n
(a1
)
+n
(a2
)。
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