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求导的表达符号

2023-08-20 18:46:04 编辑:join 浏览量:565

求导的表达符号

这种表示方法来源于莱布尼兹的对二阶导数和高阶导数的表示。

莱布尼兹表示法中,在导数的定义中引入下列符号(其中⊿y/⊿x为一阶差商):

他把二阶导数看作下述“二阶差商”的极限:除了变量x以外,我们考虑x1=x+h和x2=x+2h。这时,我们取二阶差商——一阶差商的一阶差商(⊿y/⊿x为一阶差商),即表达式:

其中y=f(x), y1=f(x1)和y2=f(x2)。记h=⊿x, y2-y1=⊿y1, y1-y=⊿y, 我们便可适当地将后面一个括号中的表达式称为y的差分之差分,或y的二阶差分,并用符号记为(这里的⊿2y只是对二阶差分采用的一种符号):

因此,在这种符号表示法中,二阶差商写成⊿2y/(⊿x)2,其中分母真正是⊿x的平方,而分子中的上标“2”表示把该取差的过程再重复一次,于是二阶导数表示为:

这种差商的符号体系,使得莱布尼兹对于二阶导数采用下列表示法:

那只是一个符号,d表示微分,dy可以理解为y方向的非常小的变化量▷y,dx可以理解为x方向的非常小的变化量▷x。

下面开始详细说明下,一元函数导数的定义式是lim(▷x→0)(▷y/▷x),也就是说在自变量x取得一个趋向于0的微小变化量时,y的变化量与x的变化量的比值,这就是一元函数y=f(x)在定义域上任意点的导数值。再由微分的定义,dx=a▷x+o(▷x),o(▷x)▷x→0时▷x的高阶无穷小,所以▷x→0时,dx=a▷x,这个a是独立常数,由此,dy/dx其实就是lim(▷x→0)(▷y/▷x),这自然也就很容易理解了。

而二阶导数d2y/dx2其实就是一个符号,一定要那么记来表示二阶导数,它等价于f''(x),而f''(x)就是f(f'(x))',这个能理解吧?于是d2y/dx2就是对dy/dx再次求导,因为dy/dx得到的仍然是一个关于自变量x的函数,所以二阶导数依然要对x求导所以才有d2y/dx2=d(dy/dx)/dx。

不懂继续问哈。希望能帮助你。

微分导数的定义

dy/dx表示的是一次求导,

实际上就是y的微分dy 比上 x的微分dx,

那么同样,

二次求导就是一次导数再对x求导一次,

即(dy/dx)/dx,

y是要微分两次,即d 的过程两次

而 x是两次作为 dx

所以得到了d²y/dx²

标签:求导

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