三角形重心向量公式:x=(x1丰本数毫或曲组范生著车+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3突百长低段许让冷)/3。推导如下:
OB=OA+AB,OC=OA+AC,代入aOA+bOB+cOC=0中得到:
AO=(bAB+cAC)/(a+b+c)。
而|AC|=b,|AB|=c。
所以AO=bc/(a+b+c)来自*(AB/|AB|+AC/|AC|)。
而清信由平行四边形法则360问答值(AB/|AB|+AC/|AC|)与BAC交角平分线共线也卫似益始具资绿感。
所以AO经过内心。
同理BO,CO也经过内心,轴内板所以O为渗正咐内心。
反之亦然。
设ABC的坐标为:A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)BC=a,CA=b,AB=c。
内心为O(x,y)则有aOA+bOB+cOC=0(三个向量)。
MA=(x1-x,y1-y)。丛纯
MB=(x2-x,y2-y)占协。
MC=(x3-x,y3-y)。
则:a(x1-x)+b(x2-x)+c(x3-x)=0,a(y1象自-y)+b(y2态尔刘突怕-y)+c(y3-y)=0。
∴x=(ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),Y=(ay1+by2+cy3)/(a+b+c)。
∴O((ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),(ay1+by2+cy3)/(a+b+c))。
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