如图，矩形$EFHG$的边$GH$在$\triangle ABC$边$BC$上，其他两个顶点分别在边$AB$、$AC$上，已知$\triangle ABC$的边$BC=120cm$，$BC$边上的高$AD$为$80cm$；求：（1）当矩形$EFHG$是正方形时，求这个正方形的边长；（2）设$EG$的长为$x cm$，$x$为何值时，矩形$EFHG$的面积最大？并求面积的最大值.

$ \left(1\right)\because $四边形$EFHG$是正方形，且$AD\bot BC$，

$\therefore EF$∥$BC,EG=EF=MD($设为$\lambda )$，

$\therefore \triangle AEF$∽$\triangle ABC$，$AM=80-\lambda $；

$\therefore EF:BC=AM:AD$，

即$\lambda :120=\left(80-\lambda \right):80$，

解得：$\lambda =48\left(cm\right)$，

即这个正方形的边长为$48cm$.

（2）设矩形$EFHG$的面积为$\lambda $，

由（1）知：$EF:BC=AM:AD$，

即$EF:120=\left(80-x\right):80$，

解得：$EF=120-1.5x$，

$\therefore \lambda =x\left(120-1.5x\right)=-1.5x^{2}+120x$，

$\therefore $当$x=-\dfrac{120}{2\times \left(-1.5\right)}=40$时，$\lambda $取得最大值，

$\lambda $的最大值$=-1.5\times 1600+120\times 40=2400\left(cm^{2}\right)$.

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