感觉已经是第八次看到有人对这个问题不解了……以下写在括号里的内容如果看不懂可以跳过。两个问题是类似的，只列“根号2=2”的示意图：n充分大的时候，锯齿形和斜边看起来将无限接近，但是长度一个是2，一个是根号2，在某些人看来，这是一个悖论。对此，给出如下的解释：首先，在初等微积分中没有关于曲线极限的一般悄旦定义。（只定义了数列极限和函数极限，而一般的极限理论是在拓扑空间上的。）其次，即使造一个定义，能够描述这种逼近（应当指出，这类定义可能不惟一，可启消扰能在定义1之下曲线C_n收敛于曲线C，而在定义2之下曲线C_n没有极限。每种不同的定义桥凳方法都可以看作是在不同的拓扑空间上考虑）。也没有道理认为曲线长度的极限恒等于曲线极限的长度。（除非曲线长度在那个拓扑空间上是一个连续泛函）。事实上，这个问题的数学意义在于，怎样“良好地”定义曲线的长度。我们首先承认线段的长度是平凡的，对于有限的折线，依据各段相加。对于弧线，我们要用折线来逼近，但不是胡乱逼近，通俗地说就是折线的小段的“方向”在极限情况下要与曲线一致，不能走回头路。在一维的情形下，通常定义曲线的长度为内接折线的长度的上确界。这里内接就可以保证其方向一致，而上确界则代替了复杂的极限概念。（至于走回头路的情况，一般的书籍的折线的定义里已经直接将它排除掉了）这是一个“良好”的定义。按照这个定义，所谓的“pi=4”和“根号2=2”的图形直接被排除在外。因为那些锯齿形的折线根本不是考虑的曲线的内接折线，自然不必要求长度收敛到曲线长度。（不过在二维的情形下，即使内接，仍不能保证方向的一致，参见Schwarz的例子，即使是简单的直圆柱，它的内接折面的面积的上确界也是无穷大。因此曲面的面积的严格定义比曲线的长度要更复杂一些，具体可参见张筑生《数学分析新讲》)另外，我不认为这个问题跟分形几何有实质关系。这个和lim[n*(1/n)]=lim(1/n)+lim(1/n)+...+lim(1/n)=0+0+0+...0=0犯了同样的错误补充一下关于为什么觉得这个问题跟分形几何无关。在标准分析的实数结构中，与Koch雪花不同，依附在光滑曲线上带有无穷小锯齿的曲线没有合理的意义。当然有人会说，我不需要这种依附在光滑曲线上带有无穷小锯齿的曲线作为“实际上的曲线”存在，我只需要讨论折线列就可以，把符合一定条件的折线列定义成一种“广义曲线”。但你还需要把维数的定义也推广到这种“广义曲线”上去，就我看，即使你能完成这种定义，在这两个问题中，最合理的维数应该是1，而不是大于1的什么数。（在“根号2=2”和“pi=4”的两个例子中，折线列的总长度都是有限值，作为一种朴素的想法，维度大于1的东西不该有有限的长度，何况“根号2=2”例子中相似维数直观上就是1）可以这样粗粗解释。把这两幅图分别置于直角坐标系，以直角顶点为原点。折线这幅图，”折斜边“在区间（0，1）根本无法做到处处连续。（就是可以找到这样的点，左极限和右极限不相等，更通俗直观的解释就是不光滑。）右边这幅图，”斜边“除了两个端点分别是右连续和左连续，在（0，1）区间内处处连续。（就是所有的点左极限和右极限相等，俗称光滑。）左图实际上应该把”折斜边“的一段段小斜边连起来（就是小斜边之和的极限）就是”根号2“。/*********************************************************************/那个所谓的PI == 4，也是这个道理。正多边形的周长越来逼近”处处连续“，那个什么”折纸正方形“根本不能做到这一点。有限情形的折线边是连续的。无限情形的折线边不是连续不连续的问题，是根本就不存在的问题。
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