已知曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0（1）当m为何值时，曲线C表示圆；（2）在（1）的条件下，设直线x-y-1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵x2+y2-2x-4y+m=0由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m＞0，得m＜5，∴当m＜5时，曲线C表示圆；（2）假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，由直线x-y-1=0代入曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0，得2x2-8x+5+m=0，∴△=64-8（m+5）=24-8m＞0，即m＜3，又由（1）知m＜5，故m＜3；∴x1+x2=4，x1x2=

m+52∴y1y2=m-12∴x1x2+y1y2=m+52+m-12=0，∴m=-2＜3，故存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，m=-2．

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