如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．

【解答】（1）证明：取AC的中点H，连接BH，∵AB=BC，∴BH⊥AC．∵AF=3FC，∴F为CH的中点．∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥AC．∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF；（2）解：设AB=BC=2a，则DE=

【解答】（1）证明：取AC的中点H，连接BH，∵AB=BC，∴BH⊥AC．∵AF=3FC，∴F为CH的中点．∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥AC．∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF；（2）解：设AB=BC=2a，则DE=

3a，EF=22a，∴S△DEF=123a•22a=64a∵S△ABD=12•2a•2a=2a∴平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值为68；（3）解：存在这样的点N，当CN=38CA时，MN∥平面DEF．连CM，设CM∩DE=O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO=23CM．∴当CF=23CN时，MN∥OF，∴CN=32•14CA

=38CA

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