在数学中，有一些精心挑选的神奇常数贯穿所有的分支。这些常数在我们的历史中不断被发现，为我们的日常生活提供了数字基础；就像周期表中的化学元素一样，数学中的特殊常数是基础性的。举几个例子，我们有0，圆周率π， - 1 (i)的平方根，当然还有指数国王，欧拉常数“e”(~2.718)。
这篇文章的重点是深入研究“欧拉数”，也被称为“纳皮尔数”(Napier’s number)，更常见的说法是自然对数e。对于外行来说，e是指数关系的关键，特别是与任何不断增长的事物相关。
就像每一个数字都可以被认为是1(基本单位)的倍数，每一个圆都可以被认为是单位圆(半径1)的比例，每一个增长率都可以被认为是e(单位增长，完美复合)的比例。e是所有持续增长过程共享的基本增长率。当系统呈指数增长时，它就会出现：人口、放射性衰变、利息计算等等……e代表了所有持续增长的系统的一个基数。
下面，我们将探访为这一发现做出贡献的三个人：约翰·纳皮尔、雅各布·伯努利和伦纳德·欧拉。
纳皮尔对数
发现e的第一步始于一个苏格兰博学者：约翰·纳皮尔。纳皮尔的贡献并非来自纯粹的数学理论，而是一种实际的需要：在将非常大的数字相乘时，一种计算捷径。
在他那个时代，一个常见的问题是，天文学家反复观察潜在的新发现，但他们却被无休止的计算所困扰，这些计算导致了不准确或彻底放弃了进展。就像乘法是加法的快捷方式，指数是乘法的快捷方式一样，纳皮尔找到了计算的下一个快捷方式：指数的快捷方式。
纳皮尔对对数的最初讨论出现在他1614年出版的《米里菲西对数规范描述》一书中。与今天使用的对数不同，纳皮尔的原始对数以1 / e为底且包含一个常数（10^7）。纳皮尔把他的对数定义为几何形式的两个距离之比，而不是目前把对数定义为指数。虽然不是我们今天使用的对数，但我们将在下面讨论Napier如何推导它。
纳皮尔把对数的概念建立在运动学框架上。他想象两个粒子沿着两条平行线运动；第一条线无限长，第二条是固定长度。纳皮尔设想这两个粒子以相同的速度同时从相同的位置出发。他使第一个粒子在无限长的直线上作匀速运动，使它在相等的时间内走过相等的距离。第二个粒子在有限线段上运动，使其速度与粒子到线段固定终点的距离成正比。
纳皮尔的平行线与移动的粒子-科学系列的里程碑 更具体地说，在任何时刻，在第二条(有限)线上未经过的距离是正弦值，而在第一条(无限)线上经过的距离是正弦值的对数。结果是，当正弦值减少时，纳皮尔对数值增加。此外，正弦函数的几何比例减小，而对数函数的算术比例增大。
为体现这种关系，纳皮尔做了一张数字表，表格中，计算出每个角度对应的pn值：
纳皮尔对数
第一列中的值对应于第三列中角度的正弦值，其对应的对数放在第二列的中间。同样的表值可以在下面的表的前六行中看到。
为了完成他现在著名的对数表，纳皮尔自己计算了近1000万个条目，从中选择合适的值。历史证据表明，纳皮尔至少花了20年的时间，创造了以下表格：
科学的里程碑系列 再次，值得重申的是，纳皮尔最初提出的对数与后来普遍采用的对数明显不同。最主要的是，大多数从事艰苦计算的人通常是在三角学的背景下做的。因此，在发展对数关系的同时，纳皮尔把它放在三角函数的背景下，所以它会更相关——它与指数增长的联系，在几十年内不会发生。
然而，事实仍然是，世界上很少有数学发明像纳皮尔对数那样出乎意料地突然出现。尽管各种不同的分支（通过加法相乘的思想，比较算术和几何级数的思想，运动的概念的使用）在某个阶段都已经浮出水面，纳皮尔的工作受到的热情表明认为这是一项新颖的发明，并且满足了迫切的需求。将对数定义为指数的可能性并不为人所知，直到伯努利和欧拉出现。
伯努利的问题
雅各布伯努利对e地发现的贡献，恰好以一种对金融的好奇拉开了序幕。起初，他做了一个思维实验，思考在相同的速度下，在不同的时间段内，复合增长是如何改变主要产出的。下一系列的例子都使用了标准的年度增长公式：
伯努利的逻辑是基本的，想象一个例子银行账户A，从1元开始，每年支付100%的利息。年底本金为2元。但是现在，不是将全部100％复利 一次 ，而是以50％的利率复利两次，那么到年底的本金为2.25元；如果是以33％的利率复利3次，则年底的本金为2.37元；如果我们按季度计算（复利4次），一年后本金为2.44元！
正如伯努利所注意到的，增加复利周期的频率，同时保持增长率不变，增加了我们的产出；然而，产出原则是在一个递减的速度增加。例如，半年复利导致12.5%的增长，每四个月复利导致18.5%的增长，季度复利导致22%的增长。随着复利周期的增加，然而，这种增加是以递减的速度增长的。
这暗示了在足够长的时间轴上的收敛，这让我们知道我们在处理一个无穷级数，所以我们求助于求极限的微积分工具。正如伯努利自己思考的那样，当我们以更快的频率复利时，我们的原则会发生什么变化——比如，如果我们每周复利(2.69元)，甚至每天复利(2.72元)。很明显，更频繁地计算复利会导致银行里有更多的钱，所以很自然地要问，当利息每时每刻(也就是连续不断地)以复利计算时，会发生什么？
伯努利以n为复利区间的个数，每个区间的利率为100%，建立了一个极限函数，欧拉将在40年后得到这个极限函数：
伯努利被认为是第一次把e写下来的人，因为他确实通过上面的计算接近了e的值(2.718281)。然而，直到欧拉，e的重要性才真正被发掘并嵌入到日常数学术语中。
欧拉的贡献
令人震惊的是，伦纳德·欧拉与e这个数字几乎没有任何关系，只是给它加上了一个令人难忘的名字。他的一个真正的技术贡献来自于证明e是非理性的，通过把它重新写成一个收敛的无穷阶乘级数：
他的第二个贡献，就是常量e以其首字母开头的核心原因，仅仅是因为他在给同事的一封信中著名地使用了常量，并在历史上将其声明为 e。 巧合的是，“ e”是指数形式的第一个字母，但是，对于是否有意以自己的名字命名，尚无定论。事实可能更平淡无奇：欧拉在其他一些数学著作中使用字母a。
不管是什么原因，符号e在1731年欧拉写给哥德巴赫的信中首次出现。在接下来的几年中，他对e有了各种各样的发现，但直到1748年欧拉在《分析的无限》中发表了前言，他才对围绕e的思想进行了全面的论述。
像π一样， e 是可导数，但仍保持其神秘的吸引力。花一点时间真正地理解以上内容—如果我们绘制等式y = e ^ x，我们会发现：
这条曲线在任意点处的斜率也是e^x 从负无穷大到x的曲线下面积 也是 e ^ x e和e ^ x的函数是所有数学中 唯一一个 常数，使上面的两点都 成立 。这很重要，因为它再次展示了 e 与持续增长的关系如何紧密地交织在一起。就像在我们共同的现实世界中反复出现的其他美丽，完美的常量一样，这是令人难以置信的乐趣和收获。谁知道还有多少其他特殊数字？我们的宇宙是无限的，因此我们几乎不可能发现 所有 关键常数。也许，从现在开始的一个世纪后，π和e只会是许多神秘数字之一。
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