如图，一次函数$y=\dfrac{1}{2}x+2$的图象交$x$轴于点$A$，交$y$轴于点$C$，与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}\left(x \gt 0\right)$的图象交于点$P$，$C$为$AP$的中点，$PB\bot x$轴于点$B$（1）求反比例函数的表达式；（2）反比例函数图象上是否存在点$D$，使四边形$BCPD$为菱形？如果存在，求出点$D$的坐标；如果不存在，说明理由.

$ \left(1\right)$直线$y=\dfrac{1}{2}x+2$中，令$x=0$，则$y=2$；令$y=0$，则$x=-4$；

$\therefore A\left(-4,0\right)$，$C\left(0,2\right)$；

$\because C$为$AP$的中点，

$\therefore P\left(4,4\right)$，

$\because $点$P$是反比例函数$y=\dfrac{m}{x}\left(x \gt 0\right)$的图象上的点，

$\therefore m=4\times 4=16$；

$\therefore $反比例函数的表达式为$y=\dfrac{16}{x}$；

（2）假设存在这样的$D$点，使四边形$BCPD$为菱形，如图所示，连接$DC$与$PB$交于$E$，

$\because $四边形$BCPD$为菱形，

$\therefore PB\bot CD$，

$\because C$为$AP$的中点，

$\therefore CE=\dfrac{1}{2}AB=4$

$\therefore CE=DE=4$，

$\therefore CD=8$，

将$x=8$代入反比例函数$y=\dfrac{16}{x}$得$y=2$，

$\therefore D$点的坐标为$\left(8,2\right)$

$\therefore $则反比例函数图象上存在点$D$，使四边形$BCPD$为菱形，此时$D$坐标为$\left(8,2\right)$.

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