三垂线定理证明

用线面垂直证明 　　已知：如图，PO在α上的射影OA垂直于a 　　求证：OP⊥a 　　证明：过P做PA垂直于α 　　∵PA⊥α 　　∴PA⊥a 　　又a⊥OA 　　OA∩PA=A 　　∴a⊥平面POA 　　∴a⊥OP 　　用向量证明三垂线定理 　　

1.已知：PO，PA分别是平面α的垂线，斜线，OA是PA在α内的射影，b包含于α，且b垂直于OA，求证：b垂直于PA 　　证明：∵PO垂直于α，∴PO垂直于b，又∵OA垂直b，向量PA=（向量PO+向量OA） 　　∴向量PA×b=（向量PO+向量OA）×b=（向量PO×b）+（向量OA×b ）=O，∴PA⊥b。 　　

2.已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，∠AOB=∠BOC=∠COA=60度，求交线OA与平面OBC所成的角。 　　解：∵向量OA=（向量OB+向量AB），O是内心，又∵AB=BC=CA，∴OA与平面OBC所成的角是30°。

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