什么是傅里叶级数？

傅里叶级数Fourier series一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。============================================================================================================傅里叶级数的公式给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数： $x(t)=\backslash sum\; \_\{k=-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}a\_k\backslash cdot\; e^\{jk(\backslash frac\{2\backslash pi\})t\}$（j为虚数单位）（1） 其中，$a\_k$可以按下式计算： $a\_k=\backslash frac\backslash int\_x(t)\backslash cdot\; e^\{-jk(\backslash frac\{2\backslash pi\})t\}$（2） 注意到$f\_k(t)=e^\{jk(\backslash frac\{2\backslash pi\})t\}$是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，$k=\backslash pm\; 1$时具有基波频率$\backslash omega\_0=\backslash frac\{2\backslash pi\}$，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。 傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下： 在任何周期内，x(t)须绝对可积； 在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；枝明 在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。 吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。 三角函数族的正交性所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是： $\backslash int\; \_^\{2\backslash pi\}\backslash sin\; (nx)\backslash cos\; (mx)\; \backslash ,dx=0;$ $\backslash int\; \_^\{2\backslash pi\}\backslash sin\; (mx)\backslash sin\; (mx)\; \backslash ,dx=0;(m\backslash ne\; n)$ $\backslash int\; \_^\{2\backslash pi\}\backslash cos\; (mx)\backslash cos\; (mx)\; \backslash ,dx=0;(m\backslash ne\; n)$ $\backslash int\; \_^\{2\backslash pi\}\backslash sin\; (nx)\backslash sin\; (nx)\; \backslash ,dx=\backslash pi;$ $\backslash int\; \_^\{2\backslash pi\}\backslash cos\; (nx)\backslash cos\; (nx)\; \backslash ,dx=\backslash pi;$ 奇函数和偶函数奇函数$f\_o(x)$可以表示为正弦级数，而偶函数$f\_e(x)$则可以表芦贺示成余弦级数： $f\_o(x)\; =\; \backslash sum\; \_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}b\_k\; \backslash sin(kx);$ $f\_e(x)\; =\; \backslash frac+\backslash sum\; \_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}a\_k\backslash cos(kx);$ 只要注意到欧拉公式: $e^\{j\backslash theta\}=\; \backslash sin\; \backslash theta+j\backslash cos\; \backslash theta$，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。 广义傅里叶级数任何正交函数系$\backslash \{\; \backslash phi(x)\backslash \}$，如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x)满足封闭性方程： $\backslash int\; \_^f^2(x)\backslash 猛哗告,dx=\backslash sum\; \_\{k=1\}^\{\backslash infty\}c^\_$ (4)， 那么级数$\backslash sum\; \_\{k=1\}^\{\backslash infty\}\; c\_k\backslash phi\; \_k(x)$ (5) 必然收敛于f(x)，其中: $c\_n=\backslash int\; \_^f(x)\backslash phi\_n(x)\backslash ,dx$ (6)。 事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有： $\backslash int\; \_^f^2(x)\backslash ,dx\; \backslash ge\; \backslash sum\; \_\{k=1\}^\{\backslash infty\}c^\_$成立，这称作贝塞尔(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基$\backslash \{e\_i\backslash \}^\_\{i=1\}$，向量x在$e\_i$上的投影总为 。

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