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直角三角形斜边中线定理的证法

2024-09-08 03:46:50 编辑:join 浏览量:534

证法1:

ΔABC来自是直角三角形,作AB的垂直平分线n交BC于D

∴AD=BD(线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等)

以DB为半径,D为圆心画弧,与BC在D的另一侧交于C'

∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD∠C’AD=∠AC’D(等边对等角)

又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D=180°(三角形内角和定理)

∴∠BAD+∠C’AD=90°即:∠BAC’=90°

又∵∠BAC=90°

∴∠BAC=∠BAC’

∴C与C’重合(也可用垂直公理证明:假使C与C’不重合由于CA⊥AB,C’A⊥AB故过A脚比短气称助更层英华有CA、C’A两条直线与A歌和些认布境派穿宽B垂直这就与垂直公理矛盾∴假设不成立∴C360问答与C’重合)

∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理

证法2:

ΔABC是直角三角形,AD是BC上的中线,作AB的中点E,连接DE

∴BD=CB/2,芹搜DE是察首汪ΔABC的中位线

∴DE‖AC(三角形的中位线平行于第三边)

∴∠DEB=∠CAB=90°(两直线平行,同位角相等)

∴DE⊥AB

∴DE是AB的垂直平分线

∴AD=BD(线败仔段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等)

∴AD=CB/2

证法3:运用向量证明

已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线。求证BC=2AD

半父鲜除货证明:设向量AC=b,向量AB=c,向量BC=a,向量AD=d

∵AD是BC的中线  

∴c+b=2d

∴(c+早临句友湖背b)²=4d²

展开括号,得|c|²+些挥根又爱酸皇向事班2c·b+|b|²=4|d|²

又∵c⊥b

∴c·b=0,|c|²+|b|²=|a|²

∴得|a|²=4|d|²

开方得|a|=2|d|,绍突棉即BC=2AD

证法4:运用矩形的性质证明

延长AD到E,使DE=AD,连接BE,CE

∵BD指兰步注=CD,∠BAC=90°

∴听普下短极试科四边形ABEC是矩形

∴BC=AE=2AD

证威准法5:解析几何证明

以A为原点,庆字无进二AC为x轴,AB为y轴建立直角坐标系,并设C(2c,0),B(0,2b),那么D(c,b)

|AD|=

|BC|===2|AD|

证法6:圆

作Rt△ABC外接圆

学宗这情需扬∵∠BAC=90°

∴AB是直径(90°的圆周角所对的弦是直径)

∴D是圆心,AD是半径

∴BC=2品冷院奏了总江拉更影AD

直角三角形斜边中线定理的证法

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