问题补充说明：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为根号2，则双曲线方程为多少?希望也帮我复习一下知识点，我这个版块的知识点忘记了。谢谢。
x2/2-y2/360问答2=1
[编辑本段]·双曲改留明罗黑宽营庆特得父线的第一定义
数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点F1,F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离即2a<2c)时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。两个定点F1,F2叫做双曲线的让术丝怕科似食件每左，右焦点(focus)。两焦点的距离叫焦距，长度为2c。其中2a在坐标轴上的端点叫做顶点，c^2=a^立少信绍费之丰采2+b^2(a=长半轴，b=短半轴)
[编辑本段]·双曲线的第二定义
1.文字语言定义
平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。定点是双曲线的焦点离，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
2.集合语言定义
设双曲线上有一动点M,定点F,点M到定直线距离为d,这时称集合{M||MF|/d=e,e>1}表示的点集是双曲线.注意:定点F要在定直线外且比值大于1.
3.标准方程
设动点M(x,y),定点F(c,0),点M到定直线l:x=a^2/c的距离为d,则由|MF|/d=e>1.推导出的双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.这是中心在原点,焦效点在x轴上的双曲线标准方程.而固跳逐饭刑半款轻术半女中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程为:(y^2观初依望小抗双滑/a^2)-(x^2/氧极项比斯或b^2)=1.
[编辑本段]·双曲线的简单几何性质
1、四广生轨迹上一点的取值却敌弦补听部天问克范围:x≥a,x≤-a(焦点在x轴上)或除村视律官者y≥a,y≤-a(焦点在y轴上)。2、对称性:关于坐标轴和原点对称。3、顶点:A(-a,0)，A’(a,0)。同时AA’叫做双曲线的实轴且∣AA’│=2a.B(0,-b)，B’(0,b)。同时BB’叫做双曲线的虚轴且│BB’│=2b.4、渐背食钟著黄钟述给近线:焦点在x轴:y笑字企财煤化载需且维就=±(b/a)x.焦点在y轴握矛法大雨响:y=±(a/b)x.圆锥曲线ρ=ep/1异后形区能刘求解易电-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos(1/e)令θ=0，得出ρ=ep/1-e,x=ρcosθ=ep/1-e令θ=PI，得出ρ=ep/1+e,x=ρcosθ=-ep/1+e这两个x是双曲线定点的横坐标。求出他们的中点的横坐标(双曲线中心横坐标)x=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2(注意化简一下)直线ρcosθ=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos(1/e)角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’则θ’=θ-【PI/2-arccos(1/e)】则θ=θ’+【PI/2-arccos(1/e)】带入上式:ρcos{θ’+【PI/2-arccos(1/e)】}=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2即:ρsin【arccos(1/e)-θ’】=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2现在可以用θ取代式中的θ’了得到方程:ρsin【arccos(1/e)-θ】=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/25、离心率:第一定义:e=c/a且e∈(1，+∞).第二定义:双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│与点P到定直线(相应准线)的距离d的比等于双曲线的离心率e.d点(│PF│)/d线(点P到定直线(相应准线)的距离)=e6、双曲线焦半径公式(圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离)右焦半径:r=│ex-a│左焦半径:r=│ex+a│7、等轴双曲线一双曲线的实轴与虚轴长相等即:2a=2b且e=√28、共轭双曲线双曲线S’的实轴是双曲线S的虚轴且双曲线S’的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S’与双曲线S为共轭双曲线。几何表达:S:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1S’:(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1特点:(1)共渐近线(2)焦距相等(3)两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于19、准线:焦点在x轴上:x=±a^2/c焦点在y轴上:y=±a^2/c10、通径长:(圆锥曲线(除圆外)中，过焦点并垂直于轴的弦)d=2b^2/a11、过焦点的弦长公式:d=2pe/(1-e^2cos^2θ)或2p/sin^2θ[p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角]12、弦长公式:d=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+1/k^2)|y1-y2|=√(1+1/k^2)(y1-y2)^2推导如下:由直线的斜率公式:k=(y1-y2)/(x1-x2)得y1-y2=k(x1-x2)或x1-x2=(y1-y2)/k分别代入两点间的距离公式:|AB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]稍加整理即得:|AB|=|x1-x2|√(1+k²)或|AB|=|y1-y2|√(1+1/k²)双曲线的概念把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样?它的方程是怎样的呢?1.简单实验(边演示、边说明)如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支;由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支.注意:常数要小于|F1F2|，否则作不出图形.这样作出的曲线就叫做双曲线.2.设问问题1:定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线?请学生回答，不能.强调“在平面内”.问题2:|MF1|与|MF2|哪个大?请学生回答，不定:当M在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|;当点M在双曲线左支上时，|MF1|＜|MF2|.问题3:点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|?请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|.正确表示为||MF2|-|MF1||.问题4:这个常数是否会大于等于|F1F2|?请学生回答，应小于|F1F2|且大于零.当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线;当常数＞|F1F2|时，无轨迹.3.定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义:平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.教师指出:双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记.(三)双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程.这时设问:求椭圆的方程的一般步骤方法是什么?不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导.标准方程的推导:(1)建系设点取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)建立直角坐标系.设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0).又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数.(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合:P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}.(3)代数方程(4)化简方程(由学生演板)将这个方程移项，两边平方得:化简得:两边再平方，整理得:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.)由双曲线定义，2c＞2a即c＞a，所以c2-a2＞0.设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得:b2x2-a2y2=a2b2.这就是双曲线的标准方程.两种标准方程的比较(引导学生归纳):教师指出:(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b;(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上;如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上.(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2.(四)练习与例题1.求满足下列的双曲线的标准方程:焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4;3.已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程.如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况?由教师讲解:按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42.因为2a=12，2c=10，且2a＞2c.所以动点无轨迹.(五)小结1.定义:平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.3.图形(见图2-25):4.焦点:F1(-c，0)、F2(c，0);F1(0，-c)、F2(0，c).5.a、b、c的关系:c2=a2+b2;c=a2+b2.五、布置作业1.根据下列条件，求双曲线的标准方程:(1)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2);3.已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦点坐标.作业答案:2.由(1+k)(1-k)＜0解得:k＜-1或k＞1
[编辑本段]·双曲线的标准公式与反比例函数
X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a>0,b>0)而反比例函数的标准型是xy=c(c≠0)但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的因为xy=c的对称轴是y=x,y=-x而X^2/a^2-Y^2/b^2=1的对称轴是x轴，y轴所以应该旋转45度设旋转的角度为a(a≠0,顺时针)(a为双曲线渐进线的倾斜角)则有X=xcosa+ysinaY=-xsina+ycosa取a=π/4则X^2-Y^2=(xcos(π/4)+ysin(π/4))^2-(xsin(π/4)-ycos(π/4))^2=(√2/2x+√2/2y)^2-(√2/2x-√2/2y)^2=4(√2/2x)(√2/2y)=2xy.而xy=c所以X^2/(2c)-Y^2/(2c)=1(c>0)Y^2/(-2c)-X^2/(-2c)=1(c<0)由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.
[编辑本段]·双曲线焦点三角形面积公式
若∠F1PF2=θ,则S△F1PF2=b²·cot(θ/2)·例:已知F1、F2为双曲线C:x²-y²=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多少?解:有双曲线焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b²·cot(θ/2)=1×cot30°，设P到x轴的距离为h，则S△F1PF2=½×F1F2×h=½2√2×h=√3，h=√6/2
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