何谓“等角螺线”？

等角螺线

来自 dufei

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等角螺线是指形式为：

r = ab^\theta

的螺线。

目录 1 定理

2 建造等角螺线

3 自然现象

4 历史

定理

等角螺线的臂的距离以几何级数递增。

设 L 为穿过原点的任意直线，则 L 与等角螺线的相交的角永远相等（故其名），而此值为 cot-1 ln b。

设 C 为以原点为圆心的任意圆，则 C 与等角螺线的相交的角永远相等，而此值为 tan-1 ln b，名为「倾斜度」

等角螺线是自我相似的；这即是说，等角螺线经放大后可与原图完全相同。

等角螺线的渐屈线和垂足线都是等角螺线。

从原点到等角螺线的任意点上的长度有限，但由那点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由 Torricelli 发现的。

建造等角螺线

在复平面上定义一个复数 z = a + bi，其中 a, b ≠ 0，那么连起 z、z²、z³…… 的曲线就是一条等角螺线。

若 L 是复平面中的一条直线且不平行于实数或虚数轴，那么指数函数 ez 会将这些直线映像到以 0 为中心的等角螺线。

使用黄金长方形：

自然现象

鹦鹉螺的贝壳像等角螺线

菊的种子排列成等角螺线

鹰以等角螺线的方式接近它们的猎物

昆虫以等角螺线的方式接近光源

蜘蛛网的构造与等角螺线相似

旋涡星系的旋臂差不多是等角螺线。银河系的四大旋臂的倾斜度约为 12°。

历史

等角螺线是由笛卡儿在1683年发现的。雅各布．伯努利后来重新研究之。

标签：等角